Théorie des systèmes dynamiques: une introduction

Livre numérique

Ce livre est une introduction à la théorie des systèmes dynamiques. On étudie les systèmes dynamiques topologiques, en basse dimension, hyperboliques et symboliques, ainsi que, brièvement, la théorie ergodique.
Le livre peut être utilisé comme manuel pour un cours d’un ou deux semestres pour les étudiants de niveau avancé de licence ou les étudiants des cycles supérieurs. Il peut aussi être utilisé pour une étude indépendante et comme point de départ pour l’étude de sujets plus spécialisés. L’exposition est directe et rigoureuse. En particulier, tous les résultats sont prouvés. Le texte comprend de nombreux exemples qui illustrent en détail les concepts et les résultats, ainsi que 140 exercices, avec différents niveaux de difficulté.

Table des matières

Table des matières
Théorie des systèmes dynamiques: une introduction 1
TABLE DES MATIÈRES 4
AVANT-PROPOS 8
I. NOTIONS DE BASE 10
I.1. Notion de système dynamique 10
I.2. Exemples pour le temps discret 12
I.3. Exemples pour le temps continu 18
I.4. Ensembles invariants 25
I.5. Exercices 29
II. DYNAMIQUE TOPOLOGIQUE 32
II.1. Systèmes dynamiques topologiques 32
II.2. Ensembles limites 34
II.3. Récurrence topologique 43
II.4. Entropie topologique 48
III.1. Homéomorphismes du cercle 64
III. SYSTÈMES DYNAMIQUES EN BASSE DIMENSION 64
III.2. Difféomorphismes du cercle 77
III.3. Applications de l’intervalle 81
III.4. Le théorème de Poincaré-Bendixson 89
III.5. Exercices 91
IV.1. Ensembles hyperboliques 94
IV. DYNAMIQUE HYPERBOLIQUE I 94
IV.2. Ensembles hyperboliques et cônes invariants 105
IV.3. Stabilité des ensembles hyperboliques 113
IV.4. Exercices 115
V. DYNAMIQUE HYPERBOLIQUE II 118
V.1. Comportement près d’un point fixe hyperbolique 118
V.2. Variétés invariantes stables et instables 137
V.3. Flots géodésiques 143
VI.1. Notions de base 158
VI. DYNAMIQUE SYMBOLIQUE 158
VI.2. Exemples de codages 162
VI.3. Chaînes de Markov topologiques 169
VI.4. Fers à cheval et chaînes de Markov topologiques 178
VI.5. Fonctions zêta 180
VI.6. Exercices 183
VII. THÉORIE ERGODIQUE 186
VII.1. Notions de théorie de la mesure 186
VII.2. Mesures invariantes 189
VII.3. Récurrence non triviale 192
VII.4. Le théorème ergodique 194
VII.5. Exposants de Lyapunov 199
VII.6. Entropie métrique 202
VII.7. Exercices 205
BIBLIOGRAPHIE 208
INDEX 210

Compléments