Relativité générale et astrophysique

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La relativité générale a entraîné une mutation en physique. Il existe de bons ouvrages de cours mais des calculs mathématiques délicats sont souvent nécessaires pour s’approprier la physique sous-jacente. Le pari est ici de proposer un apprentissage par la pratique à la fois du raisonnement et du calcul. Sont ainsi proposées de nombreuses démonstrations, certaines classiques et d’autres moins courantes. Le livre couvre les bases habituelles (géométrie différentielle, calcul tensoriel, espace-temps) avec des exemples de la métrique de Schwarzschild (les trous noirs), l’espace-temps de Kerr, les ondes gravitationnelles, les modèles de matière et les bases de l’électromagnétisme… On notera également quelques sujets plus avancés (dualité de Hodge, formalisme 3 +1…).
Les solutions proposées sont très détaillées tant sur le plan des techniques de calcul que sur l’interprétation physique. Elles permettent ainsi d’acquérir une réelle autonomie pour comprendre les concepts de base et être en mesure de résoudre les problèmes. Cet ouvrage est le complément indispensable des livres de cours existants.

Le public cible est constitué des étudiants (CPGE, du L3 au doctorat), des enseignants, universitaires, chercheurs en physique, astrophysique et mathématiques.

Table des matières

Table des matières
Relativité générale et astrophysique	1
Avant-propos	6
Table des matières	8
Chapitre 1 - Introduction à la géométrie différentielle	12
Courbes et vecteurs tangents	12
Géodésiques sur la sphère	13
Métrique induite	16
Pseudo-sphère en dimension 3	17
Dualité métrique	19
Quadri-vecteurs de genre lumière, temps et espace	21
Dérivée de Lie	23
Changement de coordonnées dans l’espace-temps	27
Changement de coordonnées et élément de volume	28
Equations des géodésiques et principe variationnel	30
Unicité de la connexion de Levi-Civita	34
Courbes auto-parallèles	39
Géodésiques nulles	40
Transport parallèle	42
Produit extérieur et formes différentielles	44
Chapitre 2 - Géométrie et calcul tensoriel	50
Equation des géodésiques et vecteur tangent	50
Critère de tensorialité	53
Dérivée covariante seconde	54
Tenseur de Levi-Civita	55
Caractérisation de la courbure	57
Courbure de la sphère	59
Courbure et élément de surface	60
Relations tensorielles	64
Propriétés du tenseur de courbure	66
Platitude conforme	69
Vecteurs de Killing	70
Propriétés du tenseur de Weyl	73
Déviation géodésique	76
Tétrades et tenseur de Riemann	78
Dérivée de Fermi-Walker	82
Hypersurfaces de l’espace-temps	85
Equations de Gauss et Codazzi	91
Comparaison de courbures	95
Chapitre 3 - Espace-temps et mesure	98
Mesure des distances et des intervalles de temps	98
Energie dans un champ gravitationnel constant	101
Référentiel d’un observateur en rotation	103
De l’inconvénient des voyages spatiaux	105
Décalage vers le rouge gravitationnel	109
Gravitation en champs faibles	110
Champ gravitationnel terrestre et géolocalisation	113
Période de rotation d’un pulsar	116
Chapitre 4 - Espace-temps de Schwarzschild	120
Espace-temps statique à symétrie sphérique	120
Détermination de la métrique de Schwarzschild	122
Horizon des événements	127
Energie et moment cinétique orbital	128
Courbure de l’espace-temps de Schwarzschild et effet de marée	130
Géodésiques dans l’espace-temps de Schwarzschild	134
Mirages gravitationnels et anneaux d’Einstein	145
Avance du périhélie de Mercure	148
Vitesse et énergie dans l’espace-temps de Schwarzschild	151
Collapse gravitationnel d’une étoile massive	152
Trous noirs, trous blancs et changement de coordonnées	156
Métrique de Schwarzschild en coordonnées isotropes	161
Chapitre 5 - Espace-temps de Kerr	164
Singularité et limites de la métrique de Kerr	164
Géodésiques nulles et coordonnées de Kerr-Schild	168
Formalisme 3+1 et métrique axisymétrique	173
Surface limite de stationnarité	180
Horizon et ergorégion d’un trou noir de Kerr	182
Processus de Penrose	185
Mesures d’un FIDO autour d’un trou noir de Kerr	187
Géodésiques dans l’espace-temps de Kerr	194
Orbite circulaire stable autour d’un trou noir de Kerr	202
Extraction d’énergie d’un trou noir de Kerr	205
Précession gyroscopique	209
Collision de particules près d’un trou noir de Kerr	216
Chapitre 6 - Ondes gravitationnelles	222
Equation d’Einstein linéarisée	222
Ondes gravitationnelles et jauge TT	227
Onde gravitationnelle et particules libres	231
Formule du quadripôle	235
De la source stationnaire à la limite newtonienne	238
Emission et perte d’énergie d’un système binaire	242
Chapitre 7 - Champs et matière	250
Tenseur énergie-impulsion et flux d’impulsion	250
Champs faibles et équation de Poisson	252
Dualité de Hodge et équations de Maxwell	254
Force de Lorentz et tenseur de Maxwell	257
Propriétés du tenseur énergie-impulsion	261
Rayonnement et luminosité d’une étoile compacte	266
Nuage de poussière	271
Transformation de jauge	272
Equations de Tolman-Oppenheimer-Volkoff	274
Equations de Arnowitt, Deser et Misner	279
Formalisme 3+1 et champ électromagnétique	286
Magnétosphère d’un trou noir de Kerr	294
Chapitre 8 - Cosmologie	302
Métrique de Friedmann-Robertson-Walker	302
Géométrie d’hypersurfaces spatialement isotropes en tout point	306
Courbure de l’Univers et géodésiques	309
Dynamique de l’Univers et équations de FRW-Lemaître	313
Paramètre de décélération et densités réduites	321
Distance angulaire et distance de luminosité	325
Horizon cosmique et taille de l’Univers	327
Age de l’Univers et paramètre d’échelle	328
Voyage intergalactique	330
Formulaire abrégé de relativité générale	334
Quelques constantes astrophysiques	354
Bibliographie	356
Index	360

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