Équations différentielles

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e livre vise à faire comprendre le rôle et la pertinence des équations différentielles en génie, maîtriser les méthodes de base permettant de résoudre les équations différentielles, et connaître quelques équations aux dérivées partielles parmi les plus importantes en génie. Dans le cas des équations aux dérivées partielles, on insiste surtout sur la méthode de séparation des variables, de concert avec les séries de Fourier, pour les résoudre. Dans cette deuxième édition, plusieurs sections ont été ajoutées afin de compléter la théorie présentée dans la première édition.

Puisque ce livre s’adresse avant tout aux étudiants en sciences appliquées, même si nous donnons la preuve de la plupart des résultats mathématiques présentés, les exercices sont presque tous des applications de la théorie. Les étudiants doivent généralement trouver la solution explicite d’une équation différentielle donnée, sous certaines conditions.

Nous illustrons le plus souvent les concepts théoriques à l’aide d’exemples typiques. De plus, le manuel contient plus de 460 exercices, dont plusieurs sont des problèmes déjà proposés en examen. Les réponses à tous les numéros pairs sont données en appendice.

Table of contents
Équations différentielles	1
AVANT-PROPOSDE LA DEUXIÈME ÉDITION	7
AVANT-PROPOS	8
1. INTRODUCTION	11
1.1 Concept d’équation différentielle et champs de directions	11
1.2 Solutions générales et solutions particulières des équations différentielles	15
1.3 Classification des équations différentielles	16
1.4 Exercices supplémentaires	19
2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES D’ORDRE UN	23
2.1 Équations à variables séparables	23
2.2 Équations exactes	28
2.3 Équations linéaires	35
2.4 Équation de Bernoulli	39
2.5 Exercices supplémentaires	41
3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES D’ORDRE DEUX	51
3.1 Substitutions et équations homogènes à coefficients constants	51
3.2 Ensemble fondamental de solutions	55
3.3 Racines complexes et changement de variable	61
3.4 Racines doubles et réduction d’ordre	65
3.5 Points singuliers et équation d’Euler	71
3.6 Équations non homogènes: méthode des coefficients indéterminés	77
3.7 Méthode de variation des paramètres et réduction d’ordre	87
3.8 Équations linéaires à coefficients constants d’ordre supérieur	92
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques	99
3.10 Solutions en séries entières	110
3.11 Méthode de Frobenius	123
3.12 Exercices supplémentaires	133
4. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES	153
4.1 Introduction	153
4.2 Systèmes linéaires homogènes d’ordre un	160
4.3 Systèmes linéaires homogènes à coefficients constants	165
4.4 Systèmes linéaires non homogènes; méthode de la diagonalisation	182
4.5 Systèmes non linéaires; linéarisation et stabilité des points critiques	189
4.6 Exercices supplémentaires	194
5. TRANSFORMÉES DE LAPLACE	207
5.1 Introduction	207
5.2 Problèmes de valeur initiale	212
5.3 Équations différentielles impliquant des fonctions discontinues	219
5.4 La fonction delta de Dirac	231
5.5 Exercices supplémentaires	236
6. SÉRIES DE FOURIER	247
6.1 Ensembles de fonctions orthogonales	247
6.2 Séries trigonométriques	251
6.3 Convergence des séries de Fourier et phénomène de Gibbs	258
6.4 Séries de Fourier cosinus et sinus, et prolongements périodiques	263
6.5 Exercices supplémentaires	268
7. ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES	275
7.1 Introduction	275
7.2 Valeurs et fonctions propres	280
7.3 Méthode de séparation des variables	285
7.4 Équation de la chaleur	290
7.5 Utilisation de transformées intégrales	307
7.6 Équation de Laplace	318
7.7 Équation d’onde	323
7.8 Exercices supplémentaires	331
RÉPONSES AUX EXERCICES (NOS PAIRS)	345
BIBLIOGRAPHIE	360
INDEX	363
TABLE DES MATIÈRES	367

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