Équations différentielles

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Ce livre vise à faire comprendre le rôle et la pertinence des équations différentielles en génie, maîtriser les méthodes de base permettant de résoudre les équations différentielles, et connaître quelques équations aux dérivées partielles parmi les plus importantes en génie. Dans le cas des équations aux dérivées partielles, on insiste surtout sur la méthode de séparation des variables, de concert avec les séries de Fourier, pour les résoudre.

Puisque ce livre s’adresse avant tout aux étudiants en sciences appliquées, même si nous donnons la preuve de la plupart des résultats mathématiques présentés, les exercices sont presque tous des applications de la théorie. Les étudiants doivent généralement trouver la solution explicite d’une équation différentielle donnée, sous certaines conditions.

Nous illustrons le plus souvent les concepts théoriques à l’aide d’exemples typiques. De plus, le manuel contient près de 250 exercices, dont plusieurs sont des problèmes déjà proposés en examen. Les réponses à tous les numéros pairs sont données en appendice.

Mario Lefebvre est professeur à l’École Polytechnique de Montréal.

Table of contents
Couverture	1
Titre	4
Copyright	5
AVANT-PROPOS	8
1 INTRODUCTION	10
1.1 Concept d’équation différentielle et champs de directions	10
1.2 Solutions générales et solutions particulières des équations différentielles	13
1.3 Classification des équations différentielles	15
2 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES D’ORDRE UN	20
2.1 Équations à variables séparables	20
2.2 Équations exactes	24
2.3 Équations linéaires	29
2.4 Équation de Bernoulli	32
2.5 Exercices supplémentaires	34
3.1 Équations homogènes d’ordre deux à coefficients constants	36
3 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES D’ORDRE DEUX	36
3.2 Ensemble fondamental de solutions	40
3.3 Racines complexes de l’équation caractéristique	46
3.4 Racines doubles de l’équation caractéristique et réduction d’ordre	49
3.5 Points singuliers et équation d’Euler	55
3.6 Équations non homogènes : méthode des coefficients indéterminés	60
3.7 Équations non homogènes : méthode de la variation des paramètres	68
3.8 Équations linéaires à coefficients constants d’ordre supérieur	72
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques électriques et les circuits	77
3.10 Solutions en séries entières	87
3.11 Exercices supplémentaires	98
4 SYSTÈMES D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES	104
4.1 Introduction	104
4.2 Systèmes linéaires homogènes d’ordre un	109
4.3 Systèmes linéaires homogènes à coefficients constants	114
4.4 Systèmes linéaires non homogènes; méthode de la diagonalisation	128
4.5 Systèmes non linéaires; linéarisation et stabilité des points critiques	135
4.6 Exercices supplémentaires	140
5 TRANSFORMÉES DE LAPLACE	146
5.1 Introduction	146
5.2 Problèmes de valeur initiale	151
5.3 Équations différentielles impliquant des fonctions discontinues	158
5.4 La fonction delta de Dirac	169
5.5 Exercices supplémentaires	175
6 SÉRIES DE FOURIER	178
6.1 Ensembles de fonctions orthogonales	178
6.2 Séries trigonométriques	182
6.3 Convergence des séries de Fourier et phénomène de Gibbs	189
6.4 Séries de Fourier cosinus et sinus, et prolongements périodiques	194
6.5 Exercices supplémentaires	199
7 ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES	202
7.1 Introduction	202
7.2 Valeurs et fonctions propres	207
7.3 Méthode de séparation des variables	212
7.4 Équation de la chaleur	217
7.5 Équation de Laplace	233
7.6 Équation d’onde	239
7.7 Exercices supplémentaires	244
RÉPONSES AUX EXERCICES (N[sup(OS)] PAIRS)	250
BIBLIOGRAPHIE	258
INDEX	260

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