Les fractales en images

Livre numérique

Qui a inventé le concept de fractale ? À quoi servent-elles ?

Apparues au XIXe siècle, les fractales furent considérées comme des curiosités mathématiques jusqu’au milieu du XXe siècle. Pourtant, nous pouvons voir des fractales partout… Cette géométrie est une extension de la géométrie classique qui peut faire des modèles précis de structures physiques comme des fougères ou des galaxies. La géométrie fractale est une nouvelle langue. Une fois que vous la parlez, vous pouvez décrire la forme d’un nuage aussi précisément qu’un architecte peut décrire une maison.
Ce petit ouvrage retrace l’évolution historique de cette discipline mathématique, explore ses pouvoirs descriptifs dans le monde naturel, puis se penche sur les applications et les implications qu’elle a induites.

Table des matières

Table des matières
Les fractales en images 1
Pourquoi les fractales sont-elles importantes ? 4
Un monde lisse ou rugueux ? 5
La texture de la réalité 7
L'origine des fractales 9
La géométrie classique 10
Le calcul différentiel 11
Le paradoxe des infinitésimaux 13
Les effets du calcul différentiel 14
La première fractale 15
Expliquer les nombres 16
De solides fondations et les ensembles 17
Que sont les ensembles ? 18
Cantor et le continuum… 19
L’ensemble de Cantor 21
La courbe de Peano 23
Les dimensions topologique et fractale 25
L’autosimilarité 26
La courbe de Koch 27
La dimension de similarité 28
Similarité et dimension fractale 29
Mesurer la dimension fractale 31
Lewis Richardson 33
Quelle est la longueur d'une côte ? 35
Le joint de culasse de Sierpinski 39
Le jeu de chaos 44
Un étrange attracteur 46
Le triangle de Pascal 47
Les bassins d’attraction 49
Poincaré et la non-linéarité 51
Malthus et la croissance de la population 53
Rétroaction négative 54
L’équation logistique 55
L’itération 56
La rétroaction en vidéo 57
Sir Robert May et le modèle de Verhulst 59
Les points de bifurcation 60
La cascade de doublement de période 61
Le figuier 62
La théorie du chaos et les fractales 63
La constante de Feigenbaum 65
Nombres réels, autres nombres 67
Les nombres complexes 68
Le plan des nombres complexes 69
Gaston Julia et Pierre Fatou 71
Benoît Mandelbrot 74
L’oncle Szolem 75
Une éducation pratique 76
La forme des choses 77
Les ruses de Bourbaki 79
À nouveau en fuite 80
Plus on est de fous, plus on rit 81
Les schémas émergents 82
Les fractales en pratique 83
Bruits parasites 84
Erreurs fractales 85
Où l’on voit émerger un principe général 86
La plus simple des transformations 87
Deux types d’ensembles de Julia 89
Une carte des ensembles de Julia 91
Tout un nouveau monde 92
Des règles simples, un comportement complexe 95
La loi de Newton et le chaos 96
Nous sommes d’accord – c’est compliqué… 97
Les transitions de phase 99
Les zones floues du calcul 100
Les mathématiques des rides 101
Les modèles naturels 102
Feux de forêt : la frontière fractale 103
Davantage de transitions de phase 104
Fractales électro-plaquées 105
La digitation visqueuse 106
La croissance par agrégation 107
Le mouvement brownien et le monde quantique 108
La magie dimensionnelle 109
La loi de puissance trois quarts 111
Le cerveau et ses mystères 113
Connaître l’esprit de Dieu ? 114
Fractales et recherche médicale 115
Virus et bactéries 116
Le Sida 117
La détection du cancer 118
Des femmes à risque 119
Des os avec des bulles et des fractures 120
Des battements fractals 121
Des solutions pratiques 122
Gisement de pétrole 123
Le ressort a sauté 125
Charges subies 127
La détection 128
L’écologie fractale 129
Fractales en orchidée et foules 131
Le paradoxe d’Olbers 133
Le Grand Mur 135
Le Big Bang 137
Connexions cosmiques 139
Comment voyons-nous ? 140
La compression d’images fractales 141
Les transformations affines 142
La morphogenèse 143
Les satellites 144
Les marchés financiers 145
Quelles sont les règles ? 147
L’auto-affinité des marchés 149
Les génératrices 151
Au-delà de la théorie du portefeuille 153
Les multifractales 154
Les fractales dans l’art : les mandalas 155
Les motifs décoratifs : l’autosimilarité 157
Les échelles et la répétition 159
Des indices dans le paysage 161
Les fractales en musique 162
Dysfonctionnement dans l'architecture moderne 163
L’architecture organique 164
Des traditions fractales 165
La force des détails 166
Fractologie 167
Quo vadis ? 169
Tout le monde n’est pas d’accord… 170
Le talent particulier de Mandelbrot 171
L’ordre est là-bas 172
Bibliographie 173
Remerciements 174
Biographies 175
Index 176

Compléments

Compléments