Analyse numérique et équations différentielles - 4ème Ed

Analyse numérique et équations différentielles - 4ème Ed

Cet ouvrage est la quatrième édition d’un livre devenu aujourd’hui un classique sur la théorie des équations différentielles ordinaires. Le cours théorique de base est accompagné d’un exposé détaillé des méthodes numériques qui permettent de résoudre ces équations en pratique. De multiples techniques de l’analyse numérique sont présentées : interpolation polynomiale, intégration numérique, méthodes itératives pour la résolution d’équations. Suit un exposé rigoureux des résultats sur l’existence, l’unicité et la régularité des solutions des équations différentielles, avec étude détaillée des équations du premier et du second ordre, des équations et systèmes linéaires à coefficients constants. Enfin, sont décrites les méthodes numériques à un pas ou multi-pas, avec étude comparative de la stabilité et du coût en temps de calcul. De nombreux exemples concrets, des exercices et problèmes d’application en fin de chapitre facilitent l’apprentissage. Plusieurs améliorations ont été apportées dans cette dernière version. De nouveaux problèmes ou exercices ont été introduits dans presque tous les chapitres. La principale nouveauté est que l’ouvrage est maintenant un pap-ebook : le site compagnon en accès libre propose au lecteur des compléments théoriques et pratiques, ainsi que la correction d’un grand nombre d’exercices. Cet ouvrage accessible aux L3, M1 et M2 de mathématiques est très utilisé pour la préparation aux concours de l’enseignement. Il constitue un outil de référence pour les enseignants, chercheurs et scientifiques d’autres disciplines.

Table des matières

Table des matières
Analyse numérique et équations différentielles - 4ème Ed 1
Table des matières 6
Introduction 10
Chapitre I. Calculs numériques approchés 14
1. Cumulation des erreurs d’arrondi 14
2. Phénomènes de compensation 21
3. Phénomènes d’instabilité numérique 24
1. Méthode d’interpolation de Lagrange 30
Chapitre II. Approximation polynomiale des fonctions numériques 30
2. Convergence des polynômes d’interpolation pn quand n tend vers +∞ 40
3. Meilleure approximation uniforme 49
4. Stabilité numérique du procédé d’interpolation de Lagrange 56
5. Polynômes orthogonaux 61
6. Problèmes 66
Chapitre III. Intégration numérique 70
1. Méthodes de quadrature élémentaires et composées 70
2. Évaluation de l’erreur 76
3. Méthodes de Gauss 85
4. Formule d’Euler-Maclaurin et développements asymptotiques 89
5. Méthode d’intégration de Romberg 97
6. Problèmes 101
Chapitre IV. Méthodes itératives pour la résolution d’équations 110
1. Principe des méthodes itératives 110
2. Cas des fonctions d’une variable 112
3. Cas des fonctions de Rm dans Rm 123
4. Le théorème des fonctions implicites 131
5. Problèmes 139
Chapitre V. Équations différentielles, Résultats fondamentaux 144
1. Définitions. Solutions maximales et globales 144
2. Théorème d’existence des solutions 150
3. Théorème d’existence et d’unicité de Cauchy-Lipschitz 159
4. Équations différentielles d’ordre supérieur à un 166
5. Problèmes 168
1. Équations du premier ordre 178
Chapitre VI. Méthodes de résolution explicite des équations différentielles 178
2. Équations du premier ordre non résolues en y' 194
3. Problèmes géométriques conduisant à des équations différentielles du premier ordre 200
4. Équations différentielles du second ordre 207
5. Problèmes 217
Chapitre VII. Systèmes différentiels linéaires 222
1. Généralités 222
2. Systèmes différentiels linéaires 224
3. Équations différentielles linéaires d’ordre p à coefficients constants 231
4. Systèmes différentiels linéaires à coefficients variables 236
5. Problèmes 242
Chapitre VIII. Méthodes numériques à un pas 248
1. Définition des méthodes à un pas, exemples 249
2. Étude générale des méthodes à un pas 256
3. Méthodes de Runge-Kutta 267
4. Contrôle du pas 274
5. Problèmes 278
1. Une classe de méthodes à pas constant 282
Chapitre IX. Méthodes à pas multiples 282
2. Méthodes d’Adams-Bashforth 292
3. Méthodes d’Adams-Moulton 297
4. Méthodes de prédiction-correction 302
5. Problèmes 308
Chapitre X. Stabilité des solutions et points singuliers d’un champ de vecteurs 314
1. Stabilité des solutions 314
2. Points singuliers d’un champ de vecteurs 321
3. Problèmes 330
Chapitre XI. Équations différentielles dépendant d’un paramètre 332
1. Dépendance de la solution 332
2. Méthode des petites perturbations 341
3. Problèmes 347
Références 352
Formulaire et principaux résultats 354
Index terminologique 370
Index des notations 376